APOAI 2025 Mock Pendulum

• 来源：noai-mis/roai-solved/international-contests/apoai/2025-mock/04-pendulum.ipynb
• 类型：Control / Simulation
• 原始资料：solution notebook
• 题面完整性：题面缺失；notebook 中有物理公式和解法
• 解法资料完整性：有解法 notebook

题面大意

根据单摆观测数据估计物理参数，并预测后续事件/状态。Notebook 给出的理论基础是角加速度公式：

d2theta/dt2 = - alpha * dtheta/dt - beta * sin(theta)

其中 alpha = mu/m，beta = g/l；在某个外力施加时间 t_F put 后，beta 变为 g/l + F/(m l)。已知 m=1, g=9.8，模型需要估计摆长 l、空气阻力 mu、外力大小 F，并用 ODE 预测。

数据特点

数据是时间序列物理轨迹，包含角度、角速度/角加速度等可计算量。物理方程强约束明显，样本不需要大模型，只要拟合少数参数。外力前后动力学不同，应分段建模。

考点

核心考点是物理先验驱动建模。相比黑盒回归，直接利用微分方程估计参数更稳、更可解释。任务还考察数值微分、ODE 积分和事件时间预测。

涉及知识点

• 单摆阻尼运动。
• 参数估计与最小二乘/MSE。
• ODE 求解。
• 分段动力学。
• Physics-informed neural network 思想。

解法思路

从观测轨迹计算 theta, omega, acc。外力前用 acc = -alpha*omega - beta*sin(theta) 拟合 alpha,beta；外力后拟合新的 beta_2，由 beta 和 beta_2 反推 l, mu, F。Notebook 中用 PyTorch 小模型表示这些参数，并最小化预测加速度与观测加速度的 MSE。参数确定后，用 ODE 积分预测后续 theta，再求下一次过零/目标时间。

可选/多种解法

线性最小二乘：因为公式对 alpha,beta 近似线性，速度最快。

可学习参数模型：用 torch 优化少量参数，写法直观。

黑盒时间序列模型：可行但不推荐，数据少且不如物理模型可解释。

特殊技巧

外力前后必须分开拟合，否则参数会折中失真。数值微分容易放大噪声，可先平滑角度或用已给加速度列。过零时间可在积分轨迹中线性插值，而不是只取最近采样点。

调参优化

这题的“调参”主要是数值拟合稳定性，而不是模型规模。优先调外力前后分段边界、角度/速度平滑窗口、微分步长、拟合时是否丢弃边界噪声点，以及 ODE 积分步长；这些参数会直接影响 alpha,beta 和过零时间。若用 PyTorch 优化少量物理参数，可调学习率、迭代次数和正值参数化方式，建议同时和线性最小二乘结果互相校验。最终预测时间对积分误差敏感，验证时应比较不同步长下结果是否稳定。

注意事项

题面独立描述缺失，具体提交要求以 notebook Submission 部分为准。物理参数应保持正值，可用 softplus 或对数参数化。单位和时间步要一致。

推广意义

这题展示了竞赛中物理模型常常胜过黑盒模型。类似思路可用于机械系统辨识、传感器校准、轨迹预测和科学机器学习。